Aká je moc čísla

• Dôvody

Upozorňujeme, že táto časť sa zaoberá konceptom stupňa len s prirodzeným ukazovateľom a nulou.

Koncept a vlastnosti stupňov s racionálnymi exponentmi (s negatívnym a zlomovým) sa budú diskutovať v hodinách pre stupeň 8.

Takže, poďme pochopiť, čo je moc čísla. Ak chcete zaznamenať výrobok samotného čísla na seba niekoľkokrát, použite skrátenú notáciu.

Namiesto produktu šiestich identických faktorov 4, 4, 4, 4, 4, 4 napíšu 4 6 a hovoria "štyri až šiesty stupeň".

4,4,4,4,4,4,6,6

Výraz 4 6 sa nazýva moc čísla, kde:

• 4 - základ stupňa;
• 6 - exponent.

Vo všeobecnosti je stupeň so základňou "a" a indexom "n" napísaný pomocou výrazu:

Stupeň počtu "a" s prirodzeným indexom "n" väčším ako 1 je výsledkom rovných faktorov "n", z ktorých každý sa rovná číslu "a".

Označenie "a n" sa číta takto: "ale k sile n" alebo "n-tej sily čísla a".

Výnimkou sú záznamy:

• a 2 - môže sa vysloviť ako "štvorcový";
• 3 - to môže byť vyhlásené ako "ale v kocke".

Samozrejme, vyššie uvedené výrazy sa dajú prečítať na určenie stupňa:

• 2 - "a v druhom stupni";
• 3 - "av treťom stupni."

Osobitné prípady sa vyskytujú, ak je exponent jedna alebo nula (n = 1, n = 0).

Stupeň čísla "a" s indexom n = 1 je samotný počet:
a 1 = a

Každé číslo v nulovom stupni je jedno.
a 0 = 1

Nula v akomkoľvek prirodzenom rozsahu je nula.
0 n = 0

Jednotka v akomkoľvek stupni sa rovná 1.
1 n = 1

Výraz 0 0 (nula až nula) sa považuje za bezvýznamný.

Pri riešení príkladov treba pamätať na to, že zvyšovanie moci sa nazýva nájdením číselnej alebo abecednej hodnoty po jej získaní na silu.

Príklad. Zvýšiť na stupeň.

• 5 3 = 5,5 5 = 125
• 2,5 2 = 2,5; 2,5 = 6,25
• (

Zvýšenie záporného čísla

Základňa stupňa (číslo, ktoré sa zvýši na výkon) môže byť akékoľvek číslo - pozitívne, negatívne alebo nulové.

Pri zvyšovaní na pozitívny počet sa získa kladné číslo.

Pri konštrukcii nulového prirodzeného stupňa sa získa nula.

Pri zvyšovaní záporného čísla na výkon môže byť výsledkom kladné alebo záporné číslo. Závisí to od toho, či je exponent lichý alebo nepárny.

Zvážte príklady zvyšovania sily záporných čísel.

Z uvažovaných príkladov je zrejmé, že ak sa negatívne číslo zvýši na nepárny stupeň, potom sa získa negatívne číslo. Keďže výsledok nepárneho počtu negatívnych faktorov je negatívny.

Ak je záporné číslo zvýšené na rovnomerný výkon, potom sa získa kladné číslo. Keďže je výsledok párneho počtu negatívnych faktorov kladný.

Záporné číslo zvýšené na rovnomerný výkon je pozitívne číslo.

Záporné číslo zvýšené na nepárny výkon je záporné číslo.

Námestie ľubovoľného čísla je kladné číslo alebo nula, to znamená:

a 2 ≥ 0 pre akékoľvek a.

• 2 · (-3) 2 = 2 · (-3) · (-3) = 2 · 9 = 18
• -5 (-2) 3 = -5 (-8) = 40

Venujte pozornosť!

Pri riešení príkladov exponenciácie často robia chyby a zabúdajú, že zápisy (-5) 4 a -5 4 sú rôzne výrazy. Výsledky exponentiácie týchto výrazov budú odlišné.

Na výpočet (-5) 4 je potrebné nájsť hodnotu štvrtej sily záporného čísla.

Zatiaľ čo nájdenie "-5 4" znamená, že príklad treba vyriešiť v dvoch krokoch:

1. Zvýšte na štvrtú moc kladné číslo 5.
   5 4 = 5,5; 5,5 = 625
2. Vložte znamienko mínus pred výsledok (to znamená, vykonať odpočítavanie akcie).
   -5 4 = -625

Príklad. Vypočítajte: -6 2 - (-1) 4

1. 6 2 = 6,6 = 36
2. -6 2 = -36
3. (-1) 4 = (-1) · (-1) · (-1) · (-1) = 1
4. - (- 1) 4 = -1
5. -36 - 1 = -37

Postup v príkladoch v stupňoch

Výpočet hodnoty sa nazýva exponentiačná akcia. Toto je krok tretieho kroku.

Vo výrazoch s právomocami, ktoré neobsahujú zátvorky, najprv vykonajú moc, potom sa vynásobia a rozdeľujú a nakoniec pridávajú a odčítavajú.

Ak vo výraze existujú zátvorky, potom najskôr v uvedenom poradí vykonajte akcie v zátvorkách a potom zostávajúce akcie v rovnakom poradí zľava doprava.

Na uľahčenie riešenia príkladov je užitočné poznať a použiť tabuľku stupňov, ktorú si môžete bezplatne stiahnuť na našej webovej stránke.

Ak chcete skontrolovať svoje výsledky, môžete na našej webovej stránke použiť online kalkulačku.

Stupeň počtu: definície, označenie, príklady.

V tomto článku pochopíme, aký je stupeň počtu. Tu uvádzame definície stupňa počtu s podrobným pohľadom na všetky možné ukazovatele stupňa, počnúc prirodzeným indikátorom a končiac s iracionálnym. V materiáli nájdete veľa príkladov stupňov pokrývajúcich všetky jemnosti, ktoré vzniknú.

Prejdite na stránku.

Titul s prirodzeným ukazovateľom, štvorcový číselný, kocka s číslom

Najprv definujeme stupeň čísla s prirodzeným indexom. Pri pohľade do budúcnosti hovoríme, že definícia stupňa a s prirodzeným indexom n je daná pre skutočné číslo a, ktoré budeme nazývať základom stupňa, a prirodzené číslo n, ktoré budeme nazývať exponentom. Upozorňujeme tiež, že stupeň s prirodzeným indexom je určený prostredníctvom produktu, takže aby ste pochopili materiál uvedený nižšie, potrebujete mať predstavu o násobení čísel.

Stupeň a s prirodzeným indexom n je vyjadrením formy a n, ktorej hodnota je rovná súčinu n faktorov, z ktorých každý je rovný a, tj.
Najmä stupeň a s indexom 1 je číslo a samotné, to je 1 = a.

Z tejto definície je zrejmé, že s pomocou stupňa s prirodzeným indexom možno zoznámiť práce niekoľkých identických faktorov. Napríklad 8 · 8 · 8 · 8 môže byť napísané ako stupeň 8 4. To je analogické tomu, ako je súčet rovnakých výrazov napísaný pomocou diela, napríklad 8 + 8 + 8 + 8 = 8,4 (pozri všeobecnú myšlienku článku o násobení prirodzených čísel).

Ihneď by sa malo povedať o pravidlách čítania stupňov. Univerzálny spôsob čítania záznamu n je: "a k sile n". V niektorých prípadoch sú takéto varianty prípustné: "a k n-tému stupňu" a "n-tej mocnosti čísla a". Napríklad, berte stupeň 8 12, to je "osem na moc dvanástich", "osem do dvanástej moci" alebo "dvanásta sila osem".

Druhý stupeň čísla, ako aj tretí stupeň čísla majú svoje vlastné mená. Druhá sila čísla sa nazýva štvorček čísla, napríklad 7 2 číta ako "sedem štvorcových" alebo "štvorec s číslom sedem". Tretia sila čísla sa nazýva kocka čísla, napríklad 5 3 môže byť čítané ako "päť v kocke" alebo hovoriť "kocka s číslom 5".

Je čas uviesť príklady stupňov s prirodzenými ukazovateľmi. Začíname so stupňom 5 7, tu 5 je základom stupňa a 7 je exponent. Uveďme ďalší príklad: desatinná časť 4,32 je základňa a kladné celé číslo 9 je exponent (4,32) 9.

Upozorňujeme, že v poslednom príklade je základňa stupňa 4.32 napísaná v zátvorkách: aby sa zabránilo nezrovnalostiam, vezmeme všetky základy stupňa v zátvorkách, ktoré sa líšia od prirodzených čísel. Ako príklad uvádzame nasledujúce stupne s prirodzenými ukazovateľmi, ich základy nie sú prirodzené čísla, takže sú napísané v zátvorkách. Pre úplnú jasnosť v tomto okamihu ukážeme rozdiel v záznamoch formulára (-2) 3 a -2 3. Výraz (-2) 3 je stupeň záporného čísla -2 s prirodzeným indexom 3 a výraz -2 3 (môže byť napísaný ako - (2 3)) zodpovedá číslu opačne k hodnote stupňa 2 3.

Všimnite si, že existuje notácia pre stupeň a s indexom n formulára a ^ n. Navyše, ak n je viachodnotové kladné celé číslo, exponent sa uvádza v zátvorkách. Napríklad 4 ^ 9 je ďalší vstup stupňa 4 9. Tu sú niektoré ďalšie príklady záznamových stupňov s použitím symbolu "^": 14 ^ (21), (-2,1) ^ (155). V nasledujúcom texte budeme používať najmä notáciu pre stupeň formy a n.

Vyššie uvedená definícia umožňuje nájsť hodnotu stupňa pomocou prirodzeného indikátora. Vykonajte to, vypočítajte produkt n rovných faktorov rovnajúcich sa a. Toto téma si zasluhuje detailné zváženie v samostatnom článku - pozri exponenciáciu s prirodzeným indikátorom.

Jednou z úloh, inverznou konštrukciou s prirodzeným ukazovateľom, je problém nájdenia základne stupňa známou hodnotou stupňa a známeho indikátora. Táto úloha vedie ku konceptu koreňa z čísla.

Je tiež potrebné preskúmať vlastnosti stupňa s prírodným indexom, ktoré vyplývajú z tejto definície stupňa a vlastností násobenia.

Stupeň s celým číslom

Po určení stupňa a s prirodzeným indexom vzniká logická túžba rozšíriť pojem stupňa a prejsť na stupeň čísla, pričom akékoľvek celé číslo, vrátane negatívneho a nulového, bude indikátorom. Toto by malo byť vykonané takým spôsobom, aby všetky vlastnosti stupňa s prirodzeným indexom zostali platné, pretože prirodzené čísla sú súčasťou celých čísel.

Stupeň a s kladným celým číslom nie je nič viac ako moc a s prirodzeným exponentom, kde n je kladné celé číslo.

Teraz definujeme nulový výkon a. Pokračujeme z vlastností čiastočných síl s rovnakými základňami: pre prirodzené čísla m a n, m m: a n = a m - n (podmienka a ≠ 0 je potrebná, pretože inak by sme mali delenie nula). Pre m = n, písomná rovnosť vedie k nasledovnému výsledku: a n: a n = a n - n = a 0. Na druhej strane n: a n = 1 ako kvocient rovnakých čísel a n a a n. Preto musíme prijať 0 = 1 pre akékoľvek nenulové reálne číslo a.

Ale čo z nuly do nuly stupňa? Prístup použitý v predchádzajúcom odseku nie je vhodný pre tento prípad. Môžeme spomenúť vlastnosť produktu stupňov s rovnakými základmi a m a n = a m + n, najmä keď n = 0, máme m · a 0 = a m (táto rovnosť tiež ukazuje, že 0 = 1). Avšak pre a = 0 dostaneme rovnosť 0 m · 0 0 = 0 m, ktorá môže byť prepísaná ako 0 = 0, platí pre akýkoľvek prirodzený m, bez ohľadu na to, akú hodnotu vyjadruje 0 0. Inými slovami, 0 0 sa môže rovnať ľubovoľnému číslu. Aby sme sa vyhli tejto nejednoznačnosti, nebudeme priradiť nulovej nulovej sile žiadnemu zmyslu (z tých istých dôvodov sme pri štúdiu rozdelenia nedali zmysel výrazu 0: 0).

Je ľahké overiť, že naša rovnosť 0 = 1 pre nenulové čísla a je v súlade s vlastnosťou stupňa k stupňu (a m) n = a m · n. Naozaj, pre n = 0 máme (m) 0 = 1 a m = 0 = a 0 = 1 a pre m = 0 máme (a 0) n = 1 n = 1 a 0 = n = a 0 = 1.

Takže sme dospeli k definícii stupňa s nulovým ukazovateľom. Stupeň a s nulovým exponentom (nenulovým reálnym číslom) je jeden, to znamená 0 ​​= 1 pre ≠ 0.

Uveďte príklady: 5 0 = 1, (33.3) 0 = 1 a 0 0 nie je definované.

Stanoví sa nulový stupeň počtu a, zostáva určiť celočíselný záporný stupeň počtu a. Pomôže nám to všetko to isté vlastnosti produktu stupňov s rovnakými základňami a m · a n = a m + n. M = -n, ktorý vyžaduje podmienku a ≠ 0, potom -n · a n = a -n + n = a 0 = 1, z čoho vyplýva, že n a -n sú navzájom inverzné čísla. Preto je logické definovať číslo a na celkový negatívny stupeň -n ako zlomok. Je ľahké overiť, že pri takejto úlohe je stupeň nenulového čísla a s celočíselným negatívnym exponentom všetky vlastnosti stupňa s prirodzeným exponentom (pozri vlastnosti exponentu s celočíselným exponentom), čo je to, o čo sme sa usilovali.

Zaznamenáme definíciu stupňa s celým negatívnym indexom. Stupeň a s negatívnym celočíselným číslom -n (nenulovým reálnym číslom) je zlomok, teda ≠ 0 a kladné celé číslo n.

Zvážte túto definíciu stupňa s negatívnym číslom na konkrétnych príkladoch :.

Zhrňte informácie o tejto položke.

Stupeň a s celým číslom z je definovaný ako:

Titul s racionálnym indikátorom

Z celočíselných exponentov čísla a, prechod k racionálnemu indikátoru sa naznačuje. Nižšie definujeme stupeň s racionálnym indikátorom a budeme to robiť takým spôsobom, aby sa zachovali všetky vlastnosti stupňa s celým indikátorom. Je to potrebné, pretože celá čísla sú súčasťou racionálnych čísel.

Je známe, že množina racionálnych čísel pozostáva z celých čísel a zlomkových čísel a každé čiastkové číslo môže byť reprezentované ako pozitívna alebo negatívna bežná frakcia. Definovali sme stupeň s celočíselným exponentom v predchádzajúcom odseku, preto, aby sme dokončili definíciu exponentu s racionálnym exponentom, musíme dať význam stupňu a s čiastočným exponentom m / n, kde m je celé číslo a n je prirodzené. Urobme to.

Zvážte stupeň s čiastočným exponentom. Aby majetok titulu mohol byť držaný, musí byť splnená rovnosť. Ak vezmeme do úvahy získanú rovnosť a ako sme určili koreň n-téj miery, potom je logické akceptovať, za predpokladu, že pre daný m, n a a výraz má zmysel.

Je ľahké overiť, či sú všetky vlastnosti stupňa s celočíselným ukazovateľom platné (to sa vykonáva v časti o vlastnostiach stupňa s racionálnym indikátorom).

Vyššie uvedené úvahy nám umožňujú urobiť nasledujúci záver: ak pre daný m, n a a výraz má zmysel, potom stupeň a s čiastočným indexom m / n je koreň n-tej stupnice od a do stupňa m.

Toto tvrdenie nás približuje k definícii stupňa s čiastočným exponentom. Zostáva len písať, pre ktoré m, n a a dáva rozumný výraz. V závislosti od obmedzení uložených na m, n a a existujú dva základné prístupy.

Najjednoduchšie je uložiť obmedzenie na a, pri ktorom je kladné kladné m a ≥ 0 pre záporné m (pretože pre m≤0, stupeň 0 m nie je definovaný). Potom získame nasledujúcu definíciu stupňa s čiastočným exponentom.

Stupeň pozitívneho čísla a s frakčným indexom m / n, kde m je celé číslo a n je kladné celé číslo, sa nazýva n-tá koreň a na moc m, to znamená.

Nižší stupeň nuly je tiež určený s jedinou výhradou, že indikátor by mal byť pozitívny.

Stupeň nula s frakčným pozitívnym indexom m / n, kde m je kladné celé číslo a n je kladné celé číslo, je definovaný ako.
Keď stupeň nie je stanovený, to znamená, že stupeň nuly s čiastočným negatívnym indikátorom nemá zmysel.

Treba poznamenať, že s takouto definíciou stupňa s čiastočným exponentom existuje jedna nuance: pre niektoré negatívne a a niektoré m a n, výraz má zmysel, a tieto prípady sme zamietli zadaním podmienky a≥0. Napríklad má zmysel písať alebo a definícia uvedená vyššie vedie k tvrdeniu, že stupne s čiastočným indexom druhu nemajú zmysel, pretože základ nemal byť negatívny.

Ďalším prístupom k určeniu stupňa s čiastočným m / n je zvážiť oddelené koreňové indexy párne a nepárne. Tento prístup si vyžaduje dodatočnú podmienku: stupeň počtu a, ktorého indikátorom je znížená frakcia, sa považuje za stupeň počtu a, ktorého indikátorom je zodpovedajúca neredukovateľná frakcia (vysvetlíme dôležitosť tohto stavu práve nižšie). To znamená, že ak m / n je neredukovateľná frakcia, potom pre akýkoľvek prirodzený počet k, stupeň je nahradený.

Pre dokonca n a pozitívny m má výraz zmysel pre akýkoľvek negatívny a (rovný koreň záporného čísla nemá zmysel), pre negatívny m, počet a musí byť aj nenulový (inak sa delí nulou). Pre nepárne n a kladné m môže byť číslo a akékoľvek (koeficient nepárneho stupňa je určený pre akékoľvek reálne číslo), a pre záporný m, číslo a musí byť nenulové (takže niet rozdelenia nula).

Uvedené úvahy nás vedú k takej definícii stupňa s čiastočným exponentom.

Nech m / n je neredukovateľná frakcia, m je celé číslo a n je kladné celé číslo. Pre každú znížiteľnú frakciu sa stupeň nahrádza. Stupeň a s neredukovateľným frakčným exponentom m / n je pre

• akékoľvek reálne číslo a, kladné celé číslo m a nepárne kladné celé číslo n, napríklad;
• akékoľvek nenulové reálne číslo a, celé záporné m, a nepárne n, napríklad;
• akékoľvek negatívne číslo a, celé kladné m a dokonca n, napríklad;
• akékoľvek kladné a, celé negatívne m a dokonca n, napríklad;
• v iných prípadoch nie je stupeň s čiastočným exponentom definovaný, napríklad stupne nie sú definované.

Vysvetľujeme, prečo je stupeň so zrušiteľným čiastočným exponentom predbežne nahradený exponentom s nenahraditeľným exponentom. Ak by sme jednoducho definovali stupeň a neuskutočnili výhradu o neredukčnosti frakcie m / n, potom by sme sa stretli so situáciami, ako je nasledujúci: od 6/10 = 3/5, potom musí rovnosť držať, ale a.

Všimnite si, že prvá definícia stupňa s frakčným indexom je ľahšie použiteľná ako druhá. Preto ho budeme používať v budúcnosti.

stupeň kladného čísla a s frakčným indexom m / n definujeme ako, pre záporné záznamy nepristupujeme k žiadnemu významu, stupeň čísel nula je určený pre pozitívne frakčné ukazovatele m / n, pretože pri negatívnych frakčných indikátoroch nie je určený stupeň nula.

Na záver tohto odseku upozorňujeme na skutočnosť, že zlomkový exponent môže byť napísaný napríklad vo forme desatinnej zlomky alebo zmiešaného čísla. Ak chcete vypočítať hodnoty výrazov tohto typu, musíte zapísať exponent ako bežnú zlomok a potom použiť definíciu stupňa s čiastočným exponentom. Pre uvedené príklady máme a.

Titul s iracionálnym a platným ukazovateľom

Je známe, že súbor reálnych čísel je možné považovať za spojenie súborov racionálnych a iracionálnych čísel. Preto stupeň s platným ukazovateľom môže byť považovaný za definovaný, ak je určený stupeň s racionálnym indikátorom a stupňom s iracionálnym indikátorom. Hovorili sme o stupni s racionálnym ukazovateľom v predchádzajúcom odseku, zostáva sa zaoberať stupňom s iracionálnym ukazovateľom.

Koncept stupňa a s iracionálnym indexom sa bude postupne približovať.

Nech je sekvencia desatinných aproximácií iracionálneho čísla. Napríklad, vziať iracionálne číslo, potom môžete prijať, alebo, atď Stojí za zmienku, že čísla sú racionálne.

Sekvencia racionálnych čísel zodpovedá stupňu stupňov a môžeme vypočítať hodnoty týchto stupňov na základe materiálu zvyšovania množstva na racionálny stupeň. Napríklad, vezmite a = 3, a potom, a po získaní na silu, získame.

Napokon, sekvencia konverguje na určité číslo, čo je hodnota výkonu a s iracionálnym exponentom. Vráťme sa k nášmu príkladu: stupeň s iracionálnym ukazovateľom formy sa približuje k číslu, ktorý sa rovná 6,27 s presnosťou na stotinu.

Stupeň kladného čísla a s iracionálnym indexom je výraz, ktorého hodnota sa rovná limitu poradia, kde sú po sebe idúce desatinné aproximácie iracionálneho čísla.

Stupeň počtu nula je určený pre pozitívne iracionálne indikátory. Napríklad. A stupeň čísla 0 s negatívnym iracionálnym indikátorom nie je určený, napríklad nie je definovaný.

Samostatne je potrebné povedať o iracionálnom stupni jednotky - jednotka v akomkoľvek iracionálnom stupni sa rovná 1. Napríklad a.

Korene a stupne

stupeň

Stupeň je vyjadrením formy :, kde:

• - základ stupnice;
• exponent.

Titul s prirodzeným ukazovateľom

Definujeme koncept stupňa, ktorého index je prirodzené číslo (to je celé číslo a pozitívne).

1. Podľa definície :.
2. Na začiarknutie čísla je to násobiť samo:
3. Ak chcete postaviť číslo do kocky, znamená to trikrát násobiť:

Zvýšenie čísla do prirodzeného stupňa znamená vynásobenie čísla znova:

Stupeň s celým číslom

Ak je exponent kladné celé číslo:

, n> 0

Nadmorská výška do nuly:

, a ≠ 0

Ak je exponent záporné celé číslo:

, a ≠ 0

Poznámka: výraz nie je definovaný v prípade n ≤ 0. Ak n> 0, potom

Titul s racionálnym indikátorom

• a> 0;
• n je prirodzené číslo;
• m je celé číslo;

Vlastnosti stupňov

koreň

Aritmetická odmocnina

Rovnica má dve riešenia: x = 2 a x = -2. Jedná sa o čísla, ktorých štvorček je 4.

Zvážte rovnicu. Vykreslite graf funkcie a uvidíme, že táto rovnica má tiež dve riešenia, jednu pozitívnu, druhú negatívnu.

Ale v tomto prípade riešenia nie sú celá čísla. Okrem toho nie sú racionálne. Aby sme napísali tieto iracionálne rozhodnutia, predstavujeme špeciálny druhový odmocnický charakter.

Aritmetická druhá odmocnina je negatívnym číslom, ktorého štvorček je a ≥ 0. Keď a

Stupeň a jeho vlastnosti. Určenie stupňa

Sekcie: Matematika

Zoznámiť študentov s vlastnosťami stupňov s prírodnými ukazovateľmi a učiť, ako vykonávať akcie so stupňami.

Téma "Stupeň a jeho vlastnosti" zahŕňa tri otázky:

• Určenie stupňa pomocou prirodzeného indikátora.
• Násobenie a rozdelenie právomocí.
• Zvýšenie stupňa výrobku a stupňa.

Formulujte definíciu stupňa s prírodným indexom väčším ako 1. Uveďte príklad.

Formulujte definíciu stupňa pomocou indikátora 1. Uveďte príklad.

Aký je poradie akcií pri výpočte hodnoty výrazu obsahujúceho stupeň?

Formulujte základnú vlastnosť stupňa. Uveďte príklad.

Formulujte pravidlo násobenia stupňov rovnakými základňami. Uveďte príklad.

Formulujte pravidlo rozdeľovania stupňov na rovnaké základne. Uveďte príklad.

Formulujte pravidlo pre stupeň práce. Uveďte príklad. Dokázať totožnosť (ab) n = a n • b n.

Formulujte pravidlo exponentiation stupňa. Uveďte príklad. Dokažte totožnosť (a m) n = a m n.

Stupeň a s prirodzeným indexom n väčším ako 1 je produkt n faktorov, z ktorých každý je a. Stupeň a s indexom 1 je číslo a samotné.

Stupeň so základňou a a indexom n je napísaný nasledovne: a n. Prečítajte si "a na výkon n"; "N sila a".

Podľa definície, stupeň:

Hľadanie hodnoty stupňa sa nazýva exponentiácia.

1. Príklady exponentiácie:

0 4 = 0 • 0 • 0 • 0 = 0

(-5) 3 = (-5) • (-5) • (-5) = -125

2. Predstavte si tvar štvorcového čísla: 25; 0,09;

25 = 5 2; 0,09 = (0,3) 2;,

3. Prezentujte vo forme kocky čísla:

27 = 3 3; 0,001 = (0,1) 3; 8 = 2 3.

4. Nájdite hodnoty výrazov:

a) 3 • 10 3 = 3 • 10 • 10 • 10 = 3 • 1000 = 3000

b) -24 + (-3) 2 = 7
2 4 = 16
(-3) 2 = 9
-16 + 9 = 7

1. Napíšte prácu ako stupeň:

c) b • b • b • b • b • b • b

d) (-x) • (-x) • (-x) • (-x)

d) (ab) • (ab) • (ab)

2. Prezentujte vo forme štvorcového čísla:

3. Prezentujte vo forme kocky čísla:

4. Nájdite hodnoty výrazov:

Pre akékoľvek číslo a a ľubovoľné čísla m a n:

a m a n = m + n.

Pravidlo: Keď vynásobíte stupne rovnakými základňami, základy zostanú nezmenené a exponenty sa pridajú dohromady.

a m a n a k = m + n a k = a (m + n) + k = a m + n + k

1. Prezentovať ako titul:

a) x 5 • x 4 = x 5 + 4 = x 9

b) y y y 6 = y 1 y 6 = y 1 + 6 = y 7

c) b 2 • b 5 • b 4 = b 2 + 5 + 4 = b 11

d) 3 4 • 9 = 3 4 • 3 2 = 3 6

d) 0,01 • 0,1 3 = 0,1 2 • 0,1 3 = 0,1 5

2. Prezentujte ako stupeň a nájdite hodnotu v tabuľke:

a) 2 3 • 2 = 2 4 = 16

b) 3 2 • 3 5 = 3 7 = 2187

1. Prezentovať ako titul:

a) x 3 • x 4 e) x 2 • x 3 • x 4

b) 6 • a 2 g) 3 3 • 9

c) 4 • c) 7 4 • 49

d) a • a 8 i) 16 • 2 7

e) 2 3 • 2 4 k) 0,3 3 • 0,09

2. Prezentujte ako stupeň a nájdite hodnotu v tabuľke:

a) 2 2 • 2 3 c) 8 • 2 5

b) 3 4 • 3 2 g) 27 • 243

Pre akékoľvek číslo 0 a ľubovoľné kladné celé čísla m a n, takže m> n je pravdivé:

a m: a n = a m - n

a m - n a n = a (m - n) + n = a m - n + n = a m

podľa definície súkromné:

a m: a n = a m - n.

Pravidlo: Pri rozdeľovaní stupňov na rovnaké základne zostáva základňa rovnaká a stupeň deliteľa sa odpočíta od exponentu.

Definícia: Stupeň, ktorý nie je rovný nule, s nulovým exponentom rovným jednému:

Čísla. Stupeň počtu.

Je všeobecne známe, že súčet niekoľkých rovnakých zložiek možno nájsť pomocou násobenia. Napríklad: 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 5x6. Takýto výraz sa považuje za súčet rovnakých zložiek, ktoré sa zmenili na produkt. A naopak, ak čítame túto rovnosť zľava, dostaneme, že sme rozšírili súhrn rovnakých podmienok. Podobne je možné produkt zbaliť niekoľkými rovnakými faktormi 5x5x5x5x5x5 = 5 6.

To znamená, že namiesto vynásobenia šiestich identických faktorov 5x5x5x5x5x5 napíšeme 5 6 a povedzme "päť až šiesty stupeň".

Výraz 5 6 je mocnosť čísla, kde:

5 - základ stupňa;

6 - exponent.

Akcie, ktorými je produkt rovnakých faktorov minimalizovaný na výkon, sa nazývajú exponentiácia.

Všeobecne platí, že stupeň so základňou "a" a indexom "n" je napísaný ako

Zvýšenie počtu a na výkon n znamená nájsť produkt n faktorov, z ktorých každý je a

Ak je základňa stupňa "a" 1, potom hodnota stupňa pre akýkoľvek prirodzený n je 1. Napríklad 1 5 = 1, 1 256 = 1

Ak zvýšíme číslo "a" na prvý stupeň, dostaneme číslo a: a 1 = a

Ak budeme zvyšovať akékoľvek číslo na nulový stupeň, potom v dôsledku výpočtov získame jeden. a 0 = 1

Špeciálne zvážte čísla druhého a tretieho stupňa. Pre nich prišiel meno: druhý stupeň sa nazýva štvorec čísla, tretí - kocka tohto čísla.

Každé číslo sa môže zvýšiť na pozitívny, záporný alebo nulový. Nepoužíva nasledujúce pravidlá:

-pri hľadaní stupňa pozitívneho čísla sa získa kladné číslo.

-pri výpočte nuly v prirodzenej miere, dostaneme nulu.

- pri výpočte stupňa záporného čísla môže byť výsledkom kladné aj záporné číslo. Závisí to od toho, či je exponent lichý alebo nepárny.

Ak vyriešime niekoľko príkladov výpočtu stupňa záporných čísel, potom sa ukáže, že ak vypočítame nepárny stupeň záporného čísla, potom výsledok bude číslo s znamienkom mínus. Keď vynásobíme nepárny počet negatívnych faktorov, získame zápornú hodnotu.

Ak vypočítame rovnomerný stupeň pre záporné číslo, výsledkom bude kladné číslo. Keď vynásobíme párny počet negatívnych faktorov, získame pozitívnu hodnotu.

Vlastnosť stupňa s prirodzeným ukazovateľom.

Ak chcete vynásobiť stupne rovnakými základňami, nezmeníme základy a nepridáme exponenty stupňov:

napríklad: 1,7,7 - 0,9 = 7 1,7+ (- 0,9) = 7 1,7 - 0,9 = 7 0,8

Aby sme oddelili tituly s rovnakými základňami, nezmeníme základňu, ale odčítame exponenty:

napríklad: 13 3.8 / 13 -0.2 = 13 (3.8 -0.2) = 13 3.6

Pri výpočte exponenciácie stupňa nezmeníme základňu a násobíme exponenty stupňov.

napríklad: (2 3) 2 = 2 3 2 = 2 6

Ak je potrebné vypočítať erekciu do stupňa výrobku, potom sa každý faktor zvýši do tohto stupňa.

napríklad: (2, 3) 3 = 2 n3 m,

Pri výpočtoch na konštrukciu zlomku zvyšujeme čitateľ a menovateľ frakcie na túto energiu.

napríklad: (2/5) 3 = (2/5) · (2/5) · (2/5) = 2 3/5 3.

Postupnosť výpočtov pri práci s výrazmi obsahujúcimi stupeň.

Pri výpočtoch výrazy bez zátvoriek, ale obsahujúce stupne, predovšetkým vykonávajú exponenciáciu, potom vynásobia a rozdeľujú akcie a až potom pridávajú a odčítavajú operácie.

Ak je potrebné vypočítať výraz obsahujúci zátvorky, potom najprv v uvedenom poradí urobíme výpočty v zátvorkách a potom zostávajúce akcie v rovnakom poradí zľava doprava.

Veľmi široko v praktických výpočtoch na zjednodušenie výpočtov použite pripravené tabuľky stupňov.

Vysvetlite, ako nájsť silu čísla

Ušetrite čas a nezobrazujú sa reklamy so softvérom Knowledge Plus

Ušetrite čas a nezobrazujú sa reklamy so softvérom Knowledge Plus

Odpoveď

Odpoveď je daná

19kot

Pripojte Knowledge Plus na prístup k všetkým odpovediam. Rýchlo, bez reklamy a prestávok!

Nenechajte si ujsť dôležité - pripojte Knowledge Plus, aby ste videli odpoveď práve teraz.

Sledujte video na prístup k odpovedi

Oh nie!
Zobrazenia odpovedí už skončili

Pripojte Knowledge Plus na prístup k všetkým odpovediam. Rýchlo, bez reklamy a prestávok!

Nenechajte si ujsť dôležité - pripojte Knowledge Plus, aby ste videli odpoveď práve teraz.

Sledujte video na prístup k odpovedi

Oh nie!
Zobrazenia odpovedí už skončili

• Komentáre
• Označte porušenie

Odpoveď

Odpoveď je daná

Nadirka212

Najrozumnejšou vecou je rozložiť číslo na primárne faktory, potom môžete nájsť základňu aj exponent.
Ak je základňa známa, potom indikátor možno nájsť logaritmizáciou, napríklad,
2 ^ x = 8
Ak chcete nájsť x, musíte počítať obe časti základne 2
x = log base 2 z 8 = ln 8 / ln 2 (to môže byť vypočítané na kalkulačke) = 3
Ak je indikátor známy, základňa sa nájde extrakciou koreňa, napríklad,
x ^ 3 = 8
Extrahujte kubický koreň z oboch častí
x = kubický koreň 8 = 2

Ak ani jeden ani jeden nevie, dekomponujte číslo na primárne faktory, to sa deje postupným rozdelením čísla na primárne faktory
614656/2 = 307328
307328/2 = 153664
153664/2 = 76832
76832/2 = 38416
38416/2 = 19208
19208/2 = 9604
9604/2 = 4802
4802/2 = 2401
2401 nie je deliteľný 2, 3, 5 (postupne opakovať nad prvočíslami)
2407/7 = 343
343/7 = 49
49/7 = 7
7/7 = 1
Celkovo sme rozdelili 2 x osemkrát a 7 štvornásobne
614656 = 2 ^ 8 * 7 ^ 4
Ak chceme nájsť reprezentáciu vo forme a ^ b s prirodzenou a a b a b musí byť maximálna, potom ako b musíme vziať GCD stupňov získaných pri rozklade na primárne faktory, tj v tomto prípade b = GCD (8.4) = 4
báza stupňa a bude 2 ^ (8 / b) * 7 ^ (4 / b) = 2 ^ 2 * 7 ^ 1 = 4 * 7 = 28

Stupeň a jeho vlastnosti. Počiatočná úroveň.

Stupeň je vyjadrením formy :, kde:

Stupeň s celým číslom

ktorého mierou je prirodzené číslo (t.j. celé číslo a pozitívne).

Titul s racionálnym indikátorom

ktorých stupeň je záporný a čiastočný.

Titul s iracionálnym exponentom

stupeň, ktorého exponentom je nekonečný desatinný zlomok alebo koreň.

Vlastnosti stupňov

Vlastnosti stupňov.

• Záporné číslo zvýšené na rovnomerný výkon je pozitívne číslo.
• Záporné číslo zvýšené na nepárny výkon je záporné číslo.
• Pozitívne číslo v akomkoľvek stupni je kladné číslo.
• Nula je rovná akémukoľvek stupňu.
• Akékoľvek číslo je nulové.

Aká je sila čísla?

Exponentiácia je rovnaká matematická operácia ako pridanie, odčítanie, násobenie alebo delenie.

Teraz vysvetím všetko v ľudskom jazyku veľmi jednoduchými príkladmi. Buďte pozorní. Príklady sú základné, ale vysvetľujú dôležité veci.

Začnime s doplnením.

Nič tu nie je vysvetlené. Už všetko viete: máme osem ľudí. Každá z nich má dve fľaše s kolou. Koľko je cola? To je správne - 16 fliaš.

Teraz sa vynásobte.

Rovnaký príklad s koksom môže byť napísaný inak :. Matematici sú mazaní a leniví ľudia. Najprv si všimnú nejaké vzory a potom prídu s cestou, ako ich rýchlo "počítať". V našom prípade si všimli, že každý z ôsmich ľudí mal rovnaký počet fliaš cola a prišiel so zariadením s názvom násobenie. Priznaj, že je považované za jednoduchšie a rýchlejšie ako.

Tu je tabuľka násobenia. Opakovať.
Ak chcete počítať rýchlejšie, jednoduchšie a bez chýb, stačí si zapamätať tabuľku násobenia. Samozrejme, môžete robiť všetko pomalšie, ťažšie a s chybami! Ale...

Tu je tabuľka násobenia. Opakovať.

A ďalšie, krásnejšie:

Aké ďalšie chytré triky účtu vynašli leniví matematici? Správne - zavedenie čísla v stupni.

Zvýšenie počtu na napájanie.

Ak potrebujete vynásobiť číslo päťkrát, potom matematici hovoria, že je potrebné postaviť toto číslo do piateho stupňa. Napríklad. Matematici si pamätajú, že je to dva až piaty stupeň. Rád takéto hádanky vyriešite - rýchlejšie, jednoduchšie a bez chýb.

Aby ste to urobili, nezabudnite na to, čo je zvýraznené farbou v tabuľke stupňov čísel. Verte mi, že to uľahčí váš život.

Mimochodom, prečo sa druhý stupeň nazýva štvorec čísla a tretí - kocka? Čo to znamená? Veľmi dobrá otázka. Teraz budete mať štvorce a kocky.

Príklad zo života č 1.

Začnime s číslom štvorca alebo druhého stupňa.

Predstavte si štvorcový bazén s metrom. Bazén je vo vašej dacha. Teplo a naozaj chcete plávať. Ale... bazén bez dna! Je potrebné položiť dno bazénov. Koľko dlaždíc potrebujete? Aby ste to určili, potrebujete poznať oblasť dna bazéna.

Môžete jednoducho počítať, poklepaním prstom, že spodok bazénu sa skladá z kociek metra na meter. Ak máte merač dlaždice podľa merača, budete potrebovať kúsky. Je to jednoduché... Ale kde ste videli takú dlažbu? Dlaždice bude viac pravdepodobne vidieť cm a potom budete trýznení "prstom". Potom musíte vynásobiť. Takže na jednej strane dna bazéna budeme padnúť dlaždice (kusy) a na druhej strane dlaždice. Vynásobením sa získate dlaždice ().

Všimli ste si, že na určenie oblasti dna bazénu sme vynásobili rovnaké číslo samotné? Čo to znamená? Po násobení toho istého čísla môžeme použiť techniku ​​"exponentiation". (Samozrejme, keď máte len dve čísla, stále ich vynásobíte alebo ich zvyšujete na energiu, ale ak ich máte veľa, potom ich zvyšovanie na výkon je oveľa jednoduchšie a výpočtové chyby sú tiež menšie, pre jednotnú štátnu skúšku je to veľmi dôležité)
Takže tridsať až druhý stupeň bude (). Alebo môžete povedať, že bude tridsať štvorcových. Inými slovami, druhý stupeň čísla môže byť vždy reprezentovaný ako štvorec. Naopak, ak uvidíte štvorec, je VŽDY druhou mocou určitého čísla. Štvorec je obraz druhého stupňa čísla.

Príklad zo života č 2.

Tu je úloha pre vás, vypočítajte, koľko štvorcov na šachovnici s pomocou námestia čísla. Na jednej strane buniek a na druhej strane. Ak chcete vypočítať ich počet, potrebujete osemkrát osem... alebo ak si všimnete, že šachovnica je štvorec so stranou, potom môžete vytvoriť osem štvorcov. Získajte bunku. () Takže?

Príklad života z čísla 3.

Teraz kocka alebo tretia sila čísla. Rovnaký bazén. Teraz však potrebujete vedieť, koľko vody musíte do tohto bazénu vlievať. Musíte vypočítať hlasitosť. (Objemy a kvapaliny, mimochodom, sú merané v kubických metroch Neočakávane?) Nakreslite bazén: spodná časť je o jeden meter veľká a jeden meter hlboká a pokúste sa vypočítať, koľko kociek v metroch na meter sa dostane do vášho bazéna.

Stačí ukazovať prst a počítať! Jeden, dva, tri, štyri... dvacet dva, dvadsať tri... Koľko sa to stalo? Nie je mimo Je ťažké počuť prstom? To je ono! Vezmite príklad matematikov. Sú leniví, takže si všimli, že na výpočet objemu bazéna je potrebné vzájomne sa vynásobiť jeho dĺžkou, šírkou a výškou. V našom prípade sa objem bazénu bude rovnať kockám... Je to jednoduchšie, že?

A teraz si predstavte, ako matematici sú leniví a mazaní, ak to zjednodušili. Prišiel všetko na jednu akciu. Všimli si, že dĺžka, šírka a výška sú rovnaké a že rovnaký počet sa vynásobí sám... A čo to znamená? To znamená, že môžete použiť stupeň. Takže to, čo ste kedysi spočítali ako prst, robia v jednej akcii: tri v kocke sú rovnaké. Je napísané týmto spôsobom :.

Zostáva len pamätať na tabuľku stupňov. Ak ste, samozrejme, leniví a mazaní ako matematici. Ak chcete pracovať tvrdo a robiť chyby, môžete pokračovať v čítaní prstom.

No, aby ste konečne presvedčili, že tituly boli vynájdené odchodcami a podvodníkmi na vyriešenie ich životných problémov a nie preto, aby vám spôsobili problémy, tu je niekoľko ďalších príkladov zo života.

Príklad zo života č.4.

Máte milión rubľov. Na začiatku každého roka získavate každý milión ďalších miliónov. To znamená, že každý váš milión na začiatku každého roka sa zdvojnásobí. Koľko peňazí budete mať za niekoľko rokov? Ak sedíte a "počítate prst", potom ste veľmi pracovitý a... hlúpy. Ale s najväčšou pravdepodobnosťou vám dá odpoveď za pár sekúnd, pretože ste šikovný! Takže v prvom roku - dva krát dva... v druhom roku - čo sa stalo, o ďalšie dva, v treťom roku... Stop! Všimli ste si, že číslo sa raz vynásobí. Takže dva až piaty stupeň - milión! Teraz si predstavte, že máte súťaž a tí, ktorí získajú milión, budú rýchlejšie vypočítavať... Stojí za to pamätať stupne čísel, ako to myslíte?

Príklad z životného čísla 5.

Máte milión. Na začiatku každého roka získavate každý ďalší milión. Wow, naozaj? Každý milión trojnásobne. Koľko peňazí budete mať za rok? Počítame. Prvý rok sa vynásobí, potom je výsledok stále... Už je to nudné, pretože ste už všetko pochopili: trikrát sa znásobí sama. Takže vo štvrtom stupni sa rovná miliónu. Musíte si len uvedomiť, že tri až štvrtý stupeň je alebo.

Teraz viete, že s pomocou zvýšenia počtu na silu výrazne uľahčíte svoj život. Pozrime sa ďalej na to, čo môžete robiť so stupňami a čo potrebujete vedieť o nich.

Podmienky a pojmy.

Začnime tým, že definujeme koncepty. Čo si myslíte, že je exponent? Je to veľmi jednoduché - toto číslo je "na vrchole" sily čísla. Nie vedecké, ale pochopiteľné a ľahko zapamätateľné...

Takže v rovnakom čase, aký je základ stupňa? Ešte jednoduchšie je číslo v dolnej časti, v dolnej časti.

Tu je obrázok o vašej vernosti.

No, všeobecne, zhrnúť a lepšie si pamätať... Stupeň so základňou " a ukazovateľom " sa číta ako "do stupňa" a je napísaný nasledovne:

Ďalej, prečo hovoriť "stupeň čísel s prirodzeným indikátorom"?

"Stupeň čísel s prirodzeným indikátorom"

Pravdepodobne ste už uhádli: pretože exponent je prirodzené číslo. Áno, ale čo je prirodzené číslo? Elementary! Prirodzené čísla sú tie, ktoré sa používajú na účte pri zaraďovaní položiek: jedna, dve, tri... Keď spočítame položky, nehovoríme: "mínus päť", "mínus šesť", "mínus sedem". Tiež nehovoríme: "jedna tretina" alebo "nulový bod, päť desatín". Toto nie sú prirodzené čísla. A aké sú tieto čísla, ako si myslíte?

Čísla ako "mínus päť", "mínus šesť", "mínus sedem" sa vzťahujú na celé čísla. Vo všeobecnosti celočíselné čísla zahŕňajú všetky prirodzené čísla, čísla oproti prirodzeným číslam (teda znamienko mínus) a číslo. Nula je ľahké pochopiť - to je, keď nie je nič. A čo znamenajú negatívne ("negatívne") čísla? Ale boli vynájdené predovšetkým na označenie dlhov: ak máte rovnováhu v telefóne v rubľoch, znamená to, že dlžíte ruble operátora.

Frakcie akéhokoľvek druhu sú racionálne čísla. Ako sa stali, čo si myslíte? Veľmi jednoduché. Pred tisíckami rokov naši predkovia zistili, že nemajú prirodzené čísla na meranie dĺžky, hmotnosti, plochy atď. A prišli s racionálnymi číslami... Zaujímavé, že?

Stále sú iracionálne čísla. Aké sú tieto čísla? Stručne povedané, nekonečné desatinné čísla. Napríklad, ak je obvod rozdelený jeho priemerom, potom sa získa iracionálne číslo.

Zhrnutie:

• Prirodzené čísla sú čísla, ktoré sa používajú pri počítaní, to znamená atď.
• Integer - všetky prirodzené čísla, prirodzené čísla s mínusom a číslo 0.
• Zlomkové čísla sú považované za racionálne.
• Iracionálne čísla sú nekonečné desatinné čísla

Titul s prirodzeným ukazovateľom

Definujeme pojem stupňa, ktorého index je prirodzené číslo (tj celé číslo a pozitívne).

1. Akékoľvek číslo v prvom stupni sa rovná sebe:
2. Na začiarknutie čísla je to násobiť samo:
3. Ak chcete postaviť číslo do kocky, znamená to trikrát násobiť:

Definícia. Zvýšenie čísla do prirodzeného stupňa znamená vynásobenie čísla znova:
.

Stupeň počtu: definície, označenie, príklady

V rámci tohto materiálu analyzujeme, aký je stupeň počtu. Okrem základných definícií formulujeme, čo je stupeň s prirodzenými, celkovými, racionálnymi a iracionálnymi ukazovateľmi. Ako vždy, všetky koncepty budú ilustrované príkladmi úloh.

Stupne s prírodnými exponentmi: pojem štvorca a kocka čísla

Najprv formulujeme základnú definíciu stupňa s prirodzeným indexom. Preto musíme pripomenúť základné pravidlá násobenia. Predbežne objasňujeme, že za základňu budeme zatiaľ vziať skutočné číslo (označené písmenom a) a ako ukazovateľ prirodzené číslo (označené písmenom n).

Stupeň a s prirodzeným indexom n je výsledkom n-tého počtu faktorov, z ktorých každý sa rovná počtu a. Stupeň je napísaný takto: a n a vo forme vzorca, jeho zloženie môže byť reprezentované nasledovne:

Napríklad, ak je exponent 1 a základňa je a, prvý výkon a je napísaný ako 1. Vzhľadom na to, že a je hodnota multiplikátora a 1 je počet násobiteľov, môžeme konštatovať, že 1 = a.

Vo všeobecnosti možno povedať, že stupeň je vhodnou formou zaznamenávania veľkého počtu rovnakých faktorov. Preto môže byť záznamový typ 8 · 8 · 8 · 8 znížený na 8 4. Približne tá istá práca nám pomáha vyhnúť sa napísaniu veľkého množstva pojmov (8 + 8 + 8 + 8 = 8,4); sme to už analyzovali v článku venovanom násobeniu prirodzených čísel.

Ako čítať záznam stupňa? Všeobecne akceptovaná možnosť je "a k sile n". Alebo môžete povedať "n-th stupeň a" alebo "n-stupňu". Ak napríklad v príklade sme dosiahli rekord 8 12, môžeme si prečítať "8 do 12. stupňa", "8 do stupňa 12" alebo "12. stupeň do 8.".

Čísla druhého a tretieho stupňa majú svoje dobre známe mená: štvorcový a kocka. Ak vidíme druhý stupeň, napríklad číslo 7 (7 2), potom môžeme povedať "7 štvorcových" alebo "štvorcových čísel 7". Podobne aj tretí stupeň znie takto: 5 3 je "kocka čísla 5" alebo "5 v kocke". Je však možné použiť aj štandardné znenie "v druhom / treťom stupni", nebude to chyba.

Pozrime sa na príklad stupňa s prirodzeným ukazovateľom: pre 5 7 budú päť základňou a sedem - ukazovateľ.

Základňa nemusí byť celé číslo: pre stupeň (4, 32) 9 bude základňou zlomok 4, 32 a indikátor bude deväť. Dávajte pozor na zátvorky: takýto záznam sa robí pre všetky stupne, ktorých základy sa líšia od prirodzených čísel.

Napríklad: 1 2 3, (- 3) 12, - 2 3 5 2, 4, 35 35, 7 3.

Aké sú zátvorky? Pomáhajú vyhnúť sa chybám vo výpočtoch. Povedzme, že máme dva záznamy: (- 2) 3 a - 2 3. Prvý z nich znamená záporné číslo mínus dva, zvýšené na výkon s prirodzeným indexom troch; druhá je číslo zodpovedajúce opačnej hodnote stupňa 2 3.

Niekedy sa v knihách vyskytuje mierne odlišné hláskovanie sily čísla - a ^ n (kde a je základ a n je indikátor). To znamená, že 4 ^ 9 je rovnaký ako 4 9. Ak n je viachodnotové číslo, je uvedené v zátvorkách. Napríklad 15 ^ (21), (- 3, 1) ^ (156). Ale použijeme notáciu a n ako bežnejšiu.

Ako vypočítať hodnotu stupňa s prirodzeným indexom je ľahké odhadnúť z jeho definície: stačí vynásobiť n počet krát. Viac o tom sme napísali v inom článku.

Koncept stupňa je opakom iného matematického konceptu - koreň čísla. Ak poznáme hodnotu stupňa a exponent, môžeme vypočítať jeho základ. Stupeň má niektoré špecifické vlastnosti, ktoré sú užitočné pri riešení problémov, ktoré sme rozobrali v samostatnom materiáli.

Čo je stupeň s celým ukazovateľom

Pokiaľ ide o stupne, môžu existovať nielen prirodzené čísla, ale vo všeobecnosti aj celé čísla vrátane negatívnych a núl, pretože tiež patria do množiny celých čísel.

Stupeň čísla s kladným celým číslom sa môže zobraziť ako vzorec :.

Okrem toho n je akékoľvek kladné celé číslo.

Porozumieme koncepcii nulového stupňa. Na tento účel používame prístup, ktorý zohľadňuje vlastnosť konkrétneho pre právomoci s rovnakými základmi. Je formulovaná takto:

Rovnosť a m: a n = a m - n platí za podmienok: m a n sú prirodzené čísla, m n, a ≠ 0.

Posledná podmienka je dôležitá, pretože sa vyhýba rozdeleniu na nulu. Ak sú hodnoty m a n rovnaké, získavame nasledujúci výsledok: a n: a n = a n - n = a 0

Ale zároveň n: a n = 1 je kvocient rovnakých čísel a n a a. Ukazuje sa, že nulový výkon ktoréhokoľvek nenulového čísla je jeden.

Avšak tento dôkaz sa nevzťahuje na nulový až nulový stupeň. Preto potrebujeme ďalšiu vlastnosť stupňov - vlastnosť produktov stupňov s rovnakými základňami. Vyzerá to takto: a m · a n = a m + n.

Ak n je 0, potom m · a 0 = a m (táto rovnosť tiež dokazuje, že 0 = 1). Ak je ale aj nulová, rovnosť má formu 0 m · 0 0 = 0 m. Bude to pravda pre akúkoľvek prirodzenú hodnotu n a nezáleží na tom, akú hodnotu má stupeň 0, to znamená, že sa môže rovnať ľubovoľnému číslu a to nebude mať vplyv na lojalitu rovnosti. Preto záznam o formulári 0 0 nemá vlastný špeciálny význam a my ho nepripisujeme.

Ak je to žiaduce, je ľahké overiť, že 0 = 1 konverguje s vlastnosťou stupňa (a m) n = a m n, za predpokladu, že základňa stupňa je nenulová. Takže stupeň akéhokoľvek nenulového čísla s nulovým exponentom je jeden.

Preskúmme príklad s konkrétnymi číslami: Takže 5 0 je jednotka, (33, 3) 0 = 1, - 4 5 9 0 = 1 a hodnota 0 0 nie je definovaná.

Po nulovom stupni nám zostáva, aby sme zistili, aký stupeň je negatívny. Na to potrebujeme rovnakú vlastnosť produktu stupňov s rovnakými základňami, ktoré sme už použili vyššie: a m · a n = a m + n.

Predstavujeme podmienku: m = - n, potom by nemala byť nula. Z toho vyplýva, že a - n · a n = a - n + n = a 0 = 1. Ukazuje sa, že n a a - n sú navzájom inverzné čísla.

Výsledkom toho je, že v celom negatívnom stupni nie je žiadna iná než frakcia 1 a n.

Takáto formulácia potvrdzuje, že v stupni s celým negatívnym indexom sú platné všetky rovnaké vlastnosti ako stupeň s prirodzeným indexom (za predpokladu, že základňa nie je nula).

Stupeň a s negatívnym celým číslom n môže byť reprezentovaný ako frakcia 1 a n. Preto a - n = 1 a n za podmienky a ≠ 0 a n je akékoľvek kladné celé číslo.

Svoju myšlienku ilustrujeme konkrétnymi príkladmi:

3 - 2 = 1 3 2, (- 4 2) - 5 = 1 (- 4 2) 5, 11 37 - 1 = 1 11 37 1

V poslednej časti tohto odseku sa pokúsime zobraziť všetko, čo je jasne uvedené v jednom príklade:

Stupeň a s prirodzeným indexom z je: az = az, e s l a z je celé číslo l a z je 0 a z = 0 a a ≠ 0, (p p p a z = 0 a a = 0 p o l o u c e s i 0 0, čo znamená a v o r a c io 0 0 n e O p e f eld i i i) 1 az, e s c a z je celo e r a c t a t a a n o e h i s a o a ≠ 0 ( e sl a z - je celé číslo série a a = 0 nekonečne s i 0 z, ego okolo P o č íta č e s o v ý robok i)

Čo je racionálny exponent?

Zaoberali sme sa prípadmi, v ktorých je celé číslo v exponentoch. Je však možné zvýšiť číslo na výkon aj vtedy, keď je v jeho indexe zlomkové číslo. Toto sa nazýva racionálny exponent. V tomto bode dokážeme, že má rovnaké vlastnosti ako ostatné stupne.

Aké sú racionálne čísla? Ich súprava zahŕňa celé aj čiastkové čísla, zatiaľ čo frakčné čísla môžu byť reprezentované ako bežné frakcie (pozitívne aj negatívne). Formulujeme definíciu stupňa a s čiastočným exponentom m / n, kde n je kladné celé číslo a m je celé číslo.

Máme určitý stupeň s čiastočným exponentom m n. Na to, aby vlastnosť stupňa do stupňa držala, rovnosť a n n n = m n n = n m musí byť pravdivá.

Ak vezmeme do úvahy definíciu koreňa n-tého stupňa a m n n = a m, môžeme prijať podmienku m n = a m n, ak m n má zmysel pri daných hodnotách m, n a a.

Vyššie uvedené vlastnosti stupňa s celým číslom budú pravdivé za podmienky, že n n = a m n.

Hlavný záver z nášho odôvodnenia je nasledovný: stupeň určitého počtu a s čiastočným indexom m / n je koreň n-tej stupnice od a do m. To platí, ak pre dané hodnoty m, n a a výraz a m n zachováva svoj význam.

Ďalej je potrebné určiť, aké obmedzenia hodnôt premenných ukladajú takúto podmienku. Existujú dva prístupy k riešeniu tohto problému.

1. Môžeme obmedziť hodnotu základu stupňa: vezmeme a, ktorá pre kladné hodnoty m bude väčšia alebo rovná 0 a pre záporné hodnoty je striktne menej (pretože pre m ≤ 0 dostaneme 0 m a tento stupeň nie je definovaný). V tomto prípade bude určenie stupňa s frakčným indexom nasledovné:

Stupeň s čiastočným exponentom m / n pre niektoré kladné číslo a je n-tá koreň zvýšenej na výkon m. Vo forme vzorca môže byť toto vyjadrené ako:

V prípade stupňa s nulovou základňou je táto poloha tiež vhodná, ale iba ak je jej index kladným číslom.

Stupeň s nulovou bázou a frakčnou pozitívnou hodnotou m / n sa môže vyjadriť ako

0 m n = 0 m n = 0 za podmienok celého kladného m a prirodzeného n.

Pri negatívnom pomere m n 0 nie je stupeň určený, t.j. takýto záznam nemá zmysel.

Všimnite si jeden bod. Keďže sme zaviedli podmienku, že a je väčšia alebo rovná nule, sme niektoré prípady upustili.

Výraz a m n niekedy stále dáva zmysel pre niektoré záporné hodnoty a a niektoré m. Položky (- 5) 2 3, (- 1, 2) 5 7, - 1 2 - 8 4 sú správne, pričom základňa je záporná.

2. Druhým prístupom je zvážiť oddelenie koreňa a n merných a nepárnych indexov. Potom budeme musieť zaviesť ešte jednu podmienku: stupeň a, v indexe ktorého hodnota znížená frakcia stojí, sa považuje za stupeň a, v indexe ktorého je zodpovedajúca neredukovateľná frakcia, ktorá zodpovedá. Neskôr vysvetlíme, prečo je táto podmienka pre nás a prečo je taká dôležitá. Ak teda máme záznam m · k n · k, môžeme ho znížiť na m n a zjednodušiť výpočty.

Ak n je nepárne číslo a m je pozitívne, a je akékoľvek negatívne číslo, potom m n dáva zmysel. Podmienka nezáporného a je nevyhnutná, pretože koreň rovnej sily nie je extrahovaný z negatívneho čísla. Ak je hodnota m pozitívna, potom a môže byť negatívne aj nulové, pretože koeficient nepárneho stupňa môže byť extrahovaný z ľubovoľného reálneho čísla.

Kombinujte všetky údaje nad definíciami v jednom zázname:

Tu m / n znamená neredukovateľnú frakciu, m je akékoľvek celé číslo a n je akékoľvek kladné celé číslo.

Pre každú bežnú redukovanú frakciu m · k n · k, stupeň môže byť nahradený m n.

Stupeň počtu a s neredukovateľným frakčným indexom m / n sa môže vyjadriť ako m n v nasledujúcich prípadoch: - pre akékoľvek skutočné a, kladné celé hodnoty m a liché prirodzené hodnoty n. Príklad: 2 5 3 = 2 5 3, (- 5, 1) 2 7 = (- 5, 1) - 2 7, 0 5 19 = 0 5 19.

- pre všetky nenulové skutočné a, celé záporné hodnoty m a liché hodnoty n, napríklad 2 - 5 3 = 2 - 5 3, (- 5, 1) - 2 7 = (- 5, 1)

- pre akékoľvek negatívne a, celé kladné hodnoty m a dokonca n, napríklad 2 1 4 = 2 1 4, (5, 1) 3 2 = (5, 1) 3, 0 7 18 = 0 7 18.

- pre akékoľvek kladné a, celé negatívne m a dokonca aj n, napríklad 2 - 14 = 2 - 14, (5, 1) - 3 2 = (5, 1) - 3.

V prípade iných hodnôt nie je definovaný stupeň s čiastočným exponentom. Príklady takýchto stupňov: - 2 11 6, - 2 1 2 3 2, 0 - 2 5.

Dovoľte nám teraz vysvetliť dôležitosť uvedenej podmienky: prečo nahradiť frakciu zníženým indexom frakciou s neredukovateľnou frakciou. Ak by sme to neurobili, tak by sme mali takéto situácie, povedzme, 6/10 = 3/5. Potom by mal byť pravdivý (- 1) 6 10 = - 1 3 5, ale - 1 6 10 = (- 1) 6 10 = 1 10 = 1 10 10 = 1 a (- 1) 3 5 = - 1 5 = - 1 5 5 = - 1.

Určenie stupňa s frakčným indexom, ktorý sme citovali ako prvý, je praktickejšie zaviesť do praxe ako druhý, preto ho budeme ďalej používať.

Teda stupeň kladného čísla a s frakčným indexom m / n je definovaný ako 0 m n = 0 m n = 0. V prípade záporného a, záznam a m n nemá zmysel. Stupeň nuly pre pozitívne frakčné ukazovatele m / n je definovaný ako 0 m n = 0 m n = 0, pre negatívne frakčné ukazovatele neurčujeme stupeň nuly.

V záveroch uvádzame, že môžeme napísať akýkoľvek zlomkový index tak vo forme zmiešaného čísla, ako aj vo forme desatinnej zlomky: 5 1, 7, 3 2 5 - 2 3 7.

Pri výpočte je lepšie nahradiť exponent obyčajnou frakciou a potom použiť definíciu exponentu s čiastočným exponentom. Pre vyššie uvedené príklady získame:

5 1, 7 = 5 17 10 = 5 7 10 3 2 5 - 2 3 7 = 3 2 5 - 17 7 = 3 2 5 - 17 7

Čo je stupeň s iracionálnym a platným ukazovateľom

Aké sú reálne čísla? Ich súprava zahŕňa racionálne aj iracionálne čísla. Preto, aby sme pochopili, aký je stupeň s platným ukazovateľom, musíme definovať stupne racionálnymi a iracionálnymi ukazovateľmi. Racionálne sme už spomenuli vyššie. Racionálne ukazovatele postupujeme krok za krokom.

Predpokladajme, že máme iracionálne číslo a a poradie jeho desatinných aproximácií a 0, a 1, a 2,.,,, Napríklad, vezmite hodnotu a = 1, 67175331.,, potom

a 0 = 1, 6, a 1 = 1, 67, a 2 = 1, 671,.,,, a 0 = 1, 67, a 1 = 1, 6717, a 2 = 1, 671753.,,

atď. (s tým, že samotné aproximácie sú racionálne čísla).

Sekvencie aproximácií môžeme spojiť sekvenciu stupňov a a a, a a 1, a a 2.,,, Ak si spomínam, že sme predtým povedali o racionálnom zvyšovaní čísel, môžeme sami vypočítať hodnoty týchto stupňov.

Vezmime napríklad a = 3, potom a a = 3 1, 67, a a 1 = 3 1, 6717, a a 2 = 3 1, 671753,.,, a tak ďalej

Postupnosť stupňov sa môže znížiť na počet, čo bude hodnota stupňa c so základňou a iracionálnym indexom a. V súhrne: stupeň s iracionálnym indexom formulára 3 1, 67175331., možno znížiť na počet 6, 27.

Stupeň kladného čísla a s iracionálnym exponentom a je napísaný ako a. Jeho hodnota je limit sekvencie a a, a a 1, a a 2.,, kde 0, a 1, a 2,.,, sú po sebe idúce desatinné aproximácie iracionálneho čísla a. Nulový základný stupeň môže byť tiež definovaný pre pozitívne iracionálne indikátory, pričom 0 a = 0 Tak 0 6 = 0, 0 21 3 3 = 0. A pre negatívne to nie je možné urobiť, pretože napríklad hodnota 0 - 5, 0 - 2 π nie je definovaná. Jednotka zvýšená do akéhokoľvek iracionálneho stupňa zostáva napríklad jednotkou a 1 2, 1 5 až 2 a 1 až 5 sa budú rovnať 1.